Construir un dodecaedro y envolverlo en una esfera como en las figuras antedichas, y demostrar que el lado del dodecaedro es la recta irracional llamada apótoma.
Pónganse los dos planos ABCD , CBEF del cubo antedicho perpendiculares entre sí y divídase en dos partes iguales cada uno de los lados AB, BC, CD, DA, EF, EB, FC por los puntos G, H, K, L, M, N, Q ; trácense GK, HL, MH, NQ , y córtese cada una de las rectas NO, OQ, HP en extrema y media razón por los puntos R, S, T , y sean sus segmentos mayores RO, OS, TP; levántense desde los puntos R, S, T, las rectas RY, SU, TX perpendiculares a los planos del cubo hacia la parte exterior del cubo, y háganse iguales a RO, OS, TP , y trácense YB, BX, XC, CU, UY .
Digo que el pentágono ⬠YBXCU es equilátero y está en un plano y además que es equiangular.
Trácense, pues, RB, SB, UB . Y como la recta NO ha sido cortada en extrema y media razón por el punto R y RO es el segmento mayor, entonces, ON2 + NR2 = 3RO2 [Prop. XIII.4]. Pero ON = NB y OR = RY; entonces, BN2 + NR2 = 3RY2. Pero BR2 = BN2 + NR2 [Prop. I.47]; entonces, BR2 = 3RY2; de modo BR2 + RY2 = 4RY2. Pero BY2 = BR2 + RY2; entonces BY2 = 4YR2; luego BY = 2RY. Pero UY = 2YR, porque SR = 2OR, es decir 2RY. Entonces BY = YU. De manera semejante se demostraría que cada una de las rectas BX, XC, CU es igual a cada una de las rectas BY, YU. Luego el pentágono ⬠BYUCX es equilátero.
Digo ahora que también está en un plano.
Trácese, pues, desde el punto O, la recta OV paralela a cada una de las rectas RY, SU hacia la parte exterior del cubo , y trácense VH, HX .
Digo que VHX es una recta.
Pues como HP ha sido cortada en extrema y media razón por T, y su segmento mayor es PT, entonces, HP / PT = PT / TH. Pero HP = HO, y PT a cada una de las rectas TX, OV; entonces, como HO / OV = XT / TH. Ahora bien, HO es paralela a TX, porque cada una de ellas es perpendicular al plano BD [Prop. XI.6]; y TH es paralela a OV, porque cada una de ellas es perpendicular al plano BF [Prop. XI.6]. Pero si dos triángulos como △VOH, △HTX, que tienen dos lados de uno proporcionales a dos lados del otro, se construyen unidos por un ángulo de modo que sus lados correspondientes sean paralelos, las restantes rectas estarán en línea recta [Prop. VI.32]. Entonces UH estará en línea recta con HX. Pero toda recta está en un plano [Prop. XI.1]; luego el pentágono ⬠YBXCU está en un plano.
Digo ahora que es equiangular.
Pues como la línea recta NO ha sido cortada en extrema y media razón por el punto R, y su segmento mayor es OR, y OR = OS, entonces NS ha sido cortada en extrema y media razón por el punto O, y su segmento mayor es NO [Prop. XIII.5]; luego los NS2 + SO2 = 3NO2 [Prop. XIII.4]. Pero NO = NB y OS = SU; entonces NS2 + SU2 = 3NB2; de modo US2 + SN2 + NB2 = 4NB2. Pero SB2 = SN2 + NB2; entonces BS2 + SU2, es decir, BU2 porque el ángulo ∠UBS es recto, son 4NB2; luego UB = 2BN. Pero BC = 2BN; entonces BU = BC. Ahora bien, como BY = BX = XC y BU = BC, entonces ∠BYU = ∠BXC [Prop. I.8]. De manera semejante demostraríamos ∠YUC = ∠BXC; entonces los tres ángulos ∠BXC, ∠BYU, ∠YUC son iguales entre sí. Pero si tres ángulos de un pentágono equilátero son iguales entre sí, el pentágono será equiangular [Prop. XIII.7]; luego el pentágono ⬠BYUCX es equiangular; y se ha demostrado que también es equilátero; por tanto, el pentágono ⬠BYUCX es equilátero y equiangular y está sobre un lado, BC, del cubo. Por tanto, si seguimos la misma construcción sobre cada uno de los doce lados del cubo, se construirá una figura sólida comprendida por doce pentágonos equiláteros y equiangulares que se llama dodecaedro .
Ahora hay que envolverlo en la esfera dada y demostrar que el lado del dodecaedro es la recta irracional llamada apótoma. Prolónguese, pues, VO y resulte VZ ; entonces, OZ da con el diámetro del cubo y se dividen en dos partes iguales una a otra, porque esto se ha demostrado en el penúltimo teorema del libro XI [Prop. XI.38]. Córtense por el punto Z; entonces Z es el centro de la esfera que envuelve el cubo y ZO es la mitad del lado del cubo. Trácese ahora YZ , y como la línea recta NS ha sido cortada en extrema y media razón por el punto O y su segmento mayor es NO, entonces NS2 + SO2 = 3NO2 [Prop. XIII.4]. Pero NS = VZ, porque también NO = OZ y VO = OS. Pero también OS = ZY, porque también es igual a RO; entonces ZV2 + VY2 = 3NO2. Pero YZ2 = ZV2 + VY2; entonces YZ2 = 3NO2. Pero el cuadrado del radio de la esfera que envuelve al cubo es también el triple del cuadrado de la mitad del lado del cubo, pues se ha demostrado anteriormente cómo construir un cubo y envolverlo en una esfera y cómo probar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo [Prop. XIII.15]. Y si el todo es el triple del todo, también la mitad lo es de la mitad; y NO es la mitad del lado del cubo; luego YZ es igual al radio de la esfera que envuelve al cubo. Ahora bien Z es el centro de la esfera que envuelve al cubo; entonces el punto Y está en la superficie de la esfera. De manera semejante demostraríamos que cada uno de los restantes ángulos del dodecaedro están en la superficie de la esfera; por tanto, el dodecaedro queda envuelto en la esfera dada .
Digo ahora que el lado del dodecaedro es la recta irracional llamada apótoma.
Pues como, una vez cortada NO en extrema y media razón, RO es su segmento mayor y, una vez cortada OQ en extrema y media razón, OS es su segmento mayor; entonces, si se corta la recta entera NQ en extrema y media razón, su segmento mayor es RS. Puesto que, como NO / OR = OR / RN, también lo son los dobles, porque las partes guardan la misma razón que sus equimúltiplos [Prop. V.15]. Luego, como NQ / RS = RS / NR+SQ. Pero NQ > RS, entonces RS > NR + SQ; entonces NQ ha sido cortada en extrema y media razón, y su segmento mayor es RS. Y RS = YU; luego, si se corta NQ en extrema y media razón, el segmento mayor es YU. Y como el diámetro de la esfera es racional y su cuadrado es el triple del cuadrado del lado del cubo, entonces NQ, que es el lado del cubo, es racional. Pero si una línea racional se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es una recta irracional llamada apótoma [Prop. XIII.6].
Q. E. D.
A partir de esto queda claro que, si se corta el lado del cubo en extrema y media razón, el segmento mayor es el lado del dodecaedro.
Q. E. D.