Construir un cubo y envolverlo en una esfera como la pirámide, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo.
Póngase AB como diámetro de la esfera dada y córtese por el punto C de modo que AC = 2CB ; descríbase sobre AB, el semicírculo ACB ; desde el punto C, trácese CD perpendicular a AB , y trácese DB ; póngase el cuadrado ◻EFGH que tenga el lado igual a DB , y trácense, desde los puntos E, F, G, H las rectas EK, FL, GM, HN perpendiculares al plano del cuadrado ◻EFGH ; y pónganse respectivamente EK, FL, GM, HN iguales a una de las rectas EF, FG, GH, HE, y trácense KL, LM, MN, NK ; entonces se ha construido el cubo FN comprendido por seis cuadrados iguales .
Ahora hay que envolverlo en la esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo.
Trácense, pues, KG, EG . Y como el ángulo ∠KEG es recto, porque KE es perpendicular al plano EG y, evidentemente, también a la recta EG [Def. XI.3], entonces el semicírculo descrito sobre KG pasará por el punto E. Como, a su vez, GF es perpendicular a cada una de las rectas FL, FE, entonces GF es perpendicular también con el plano FK; de modo que, si trazamos la recta FK, GF será perpendicular a la recta FK; y por eso, el semicírculo descrito sobre GK pasará a su vez por el punto F. De manera semejante, pasará también por los puntos angulares restantes del cubo. Entonces, si, permaneciendo fija KG, se hace girar el semicírculo y se vuelve al mismo lugar de donde empezó a moverse, el cubo quedará envuelto en la esfera .
Digo además que en la esfera dada.
Pues como GF = FE y el ángulo ∠F es recto, entonces EG2 = 2EF2. Pero EF = EK; entonces EG2 = 2EK2; de modo que GE2 + EK2 = GK2 [Prop. I.47], = 3EK2. Y como AB = 3BC, mientras que, como AB / BC = AB2 / BD2, entonces AB2 = 3BD2. Pero se ha demostrado que GK2 = 3KE2. Y KE = DB; luego KG = AB. Y AB es el diámetro de la esfera dada; por tanto, KG es igual al diámetro de la esfera dada.
Q. E. D.