Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.
Córtese, pues, un segmento AB en extrema y media razón por el punto C , y sea AC el segmento mayor, y divídase AC en dos partes iguales por el punto D . Digo que BD2 = 5DC2.
Pues constrúyase el cuadrado AE de AB , e inscríbase la figura doble . Como AC = 2DC, entonces AC2 = 4DC2, es decir ◻RS = 4◻FG. Y como AB⋅BC = AC2, y AB⋅BC = ▭CE, entonces ▭CE = ◻RS. Pero ◻RS = 4◻FG; luego ▭CE = 4◻FG. Puesto que AD = DC, también HK = KF. De modo ◻GF = ◻HL. Luego GK = KL, es decir MN = NE; de modo que ◻MF = ◻FE. Pero ◻MF = ◻CG; entonces ◻CG = ◻FE. Añádase a ambos ▭CN; entonces ◱BDGUFN = ▭CE. Pero se ha demostrado que ▭CE = 4◻GF; luego ◱BDGUFN = 4◻FG. Por tanto ◱BDGUFN + ◻FG =5◻FG. Pero ◱BDGUFN + ◻FG = ◻DN. Y ◻DN = DB2, mientras que ◻GF = DC2. Por tanto, DB2 = 5DC2.
Q. E. D.