Si se corta una línea recta en extrema y media razón y se le añade otra igual al segmento mayor, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y la recta inicial es el segmento mayor.
Córtese, pues, la línea recta AB en extrema y media razón por el punto C ; sea AC el segmento mayor y hágase AD igual a AC . Digo que BD⋅DA = AB2, y AB > AD.
Pues constrúyase el cuadrado ◻AE de AB , e inscríbase la figura . Como AB se ha cortado en extrema y media razón por el punto C, entonces AB⋅BC = AC2 [Def. VI.3 y Prop. VI.17]. Ahora bien, AB⋅BC = ▭CE, mientras AC2 = ◻CH; entonces ▭CE = ◻HC. Pero ▭HE = ▭CE, y ◻DH = ◻HC; entonces, ◻DH = ▭HE. Luego ▭DK = ◻AE. Y ▭DK = BD⋅DA, porque AD = DL; mientras que ◻AE = AB2; luego BD⋅DA = AB2. Entonces DB / BA = BA / AD [Prop. VI.17]. Pero DB ⊐ BA; luego BA ⊐ AD [Prop. VI.14].
Q. E. D.