Construir una pirámide, envolverla en una esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide.

Póngase AB como diámetro de la esfera dada Paso 1 y córtese por el punto C, de modo que AC = 2CB Paso 2; descríbase sobre AB el semicírculo ADB Paso 3; trácese CD perpendicular a AB desde el punto C Paso 4, y trácese DA Paso 5; póngase el círculo ◯EFG que tenga el radio igual a DC Paso 6 e inscríbase en el círculo ◯EFG el triángulo equilátero △EFG [Prop. IV.2]Paso 7; tómese el punto H como centro del círculo [Prop. III.1] Paso 8; trácense EH, HF, HG Paso 9; desde el punto H levántese HK perpendicular al plano del círculo ◯EFG [Prop. XI.32]Paso 10 y hágase HK = AC, y trácense KE, KF, KG Paso 11; ahora bien, como KH es perpendicular al plano del círculo ◯EFG, será perpendicular a todas las rectas que la tocan y están en el plano del círculo ◯EFG [Def. XI.3]. Pero cada una de las rectas HE, HF, HG la toca; entonces HK es perpendicular a cada una de las rectas HE, HF, HG. Y como AC = HK y CD = HE, y comprenden ángulos rectos, entonces DA = KE [Prop. I.4]. Por lo mismo KF = DA, KG = DA; luego las tres rectas KE, KF, KG son iguales entre sí. Y como AC = 2CB, entonces AB = 3BC. Pero AB / BC = AD² / DC² como se demostrará enseguida. Entonces AD² = 3DC². Pero FE²= 3EH² [Prop. XIII.12], y DC = EH; entonces DA = EF. Ahora bien, se ha demostrado que DA es igual a cada una de las rectas KE, KF, KG; entonces las rectas EF, FG, GE son iguales a las rectas KE, KF, KG respectivamente; luego los cuatro triángulos △EFG, △KEF, △KFG, △KEG son equiláteros. Por tanto, a partir de cuatro triángulos equiláteros, se ha construido una pirámide cuya base es el triángulo △EFG y su vértice el punto K Paso 12.

Ahora hay que envolverla en la esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide. Prolónguese, pues, la recta HL en línea recta con KH Paso 13, y hágase HL = CB. Y dado que, AC / CD = CD / CB [Cor. Prop. VI.8] mientras que AC = KH, CD = HE y CB = HL, entonces como KH / HE = EH / HL; luego KH⋅HL = EH² [Prop. VI.17]. Y cada uno de los ángulos ∠KHE, ∠EHL es recto; entonces el semicírculo descrito sobre KL pasará también por el punto E [Prop. VI.8; Prop. III.31]. Entonces, si permaneciendo fija KL, se hace girar el semicírculo y se vuelve a la posición de donde empezó a moverse, pasará también por los puntos F, G, pues trazadas las rectas FL, LG, los ángulos correspondientes a F, G resultan parejamente rectos; y la pirámide quedará envuelta en la esfera dada Paso 14. Porque KL, el diámetro de la esfera, es igual al diámetro AB de la esfera dada, ya que KH = AC y HL = CB.

Digo además que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide. Pues como AC = 2CB, entonces AB = 3BC; luego, BA = (3/2)AC. Pero como BA / AC = BA² / AD². Luego BA² = (3/2) AD². Y BA es el diámetro de la esfera dada y AD es igual al lado de la pirámide. Por consiguiente, el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide.

Q. E. D.

Hay que demostrar que, AB / BC = AD² / CD².

Póngase, pues, la figura del semicírculo Paso 15, y trácese DB Paso 16; constrúyase sobre AC el cuadrado EC Paso 17 y complétese el paralelogramo FB Paso 18. Pues bien, dado que, por ser el triángulo △DAB de ángulos iguales a los de △DAC, como BA / AD = DA / AC [Prop. VI.8; Prop. VI.4], entonces BA⋅AC = AD² [Prop. VI.17]. Y dado que, como AB / BC = EB / BF [Prop. VI.1] y ▭EB = BA⋅AC —porque EA = AC— mientras que ▭BF = AC⋅CB, entonces, como AB / BC = BA⋅AC / AC⋅CB. Ahora bien, BA⋅AC = AD², mientras que AC⋅CB = DC², porque la perpendicular DC es la media proporcional de los segmentos AC, CB de la base por ser recto el ángulo ∠ADB [Cor. Prop. VI.8]. Entonces, como AB /BC = AD² / DC².

Q. E. D.