Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos son el triple del cuadrado del segmento mayor.
Sea AB la recta y córtese en extrema y media razón por el punto C , y sea AC el segmento mayor. Digo que AB2 + BC2 = 3CA2.
Constrúyase, pues, el cuadrado ◻AE de AB e inscríbase la figura . Pues bien, como AB se ha cortado en extrema y media razón por C, y AC es el segmento mayor, entonces AB⋅BC = AC2 [Def. VI.3 y Prop. VI.17]. Y AB⋅BC = ▭AK, mientras AC2 = ◻HG; entonces ▭AK = ◻HG. Y como ▭AF = ▭FE, añádase a ambos ◻CK; entonces ▭AK = ▭CE; luego ▭AK + ▭CE = 2▭AK. Pero ▭AK + ▭CE = ◱ABEGFH + ◻CK; entonces ◱ABEGFH + ◻CK = 2▭AK. Pero además se ha demostrado que ▭AK = ◻HG; luego ◱ABEGFH + ◻CK + ◻HG = 3◻HG. Ahora bien, ◱ABEGFH + ◻CK + ◻HG = ◻AE + ◻CK, donde ◻AE = AB2 y ◻CK = BC2, mientras que ◻GH = AC2. Por tanto, AB2 + BC2 = 3AC2.
Q. E. D.