Si una recta racional se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es la recta irracional llamada apótoma.
Sea AB la recta racional y córtese en extrema y media razón por el punto C , y sea AC el segmento mayor. Digo que cada una de las rectas AC, CB es la recta irracional llamada apótoma.
Prolónguese, pues, BA y hágase AD igual a la mitad de BA . Pues bien, como la recta AB se ha cortado en extrema y media razón por el punto C y se ha añadido al segmento mayor AC la recta AD que es la mitad de AB, entonces el cuadrado de CD2 = 5AD2 [Prop. XIII.1]. Luego el cuadrado de CD guarda con el cuadrado de DA la razón que un número guarda con un número; por tanto el cuadrado de CD es conmensurable con el cuadrado de DA [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de DA es racional, porque DA es racional, siendo la mitad de AB que es racional; entonces el cuadrado de CD es racional [Def. X.4]. Luego CD también es racional. Ahora bien, como el cuadrado de CD no guarda con el cuadrado de DA la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces CD es inconmensurable en longitud con DA [Prop. X.9]; luego CD, DA son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, AC es una apótoma [Prop. X.73]. A su vez, como AB se ha cortado en extrema y media razón y su segmento mayor es AC, entonces AB⋅BC = AC2 [Def. VI.3, Prop. VI.17]. Luego el cuadrado de la apótoma AC, aplicado a la recta racional AB, produce la anchura BC; pero el cuadrado de una apótoma, aplicado a una recta racional, produce como anchura una primera apótoma [Prop. X.97]; por tanto CB es una primera apótoma. Pero se ha demostrado que CA es también una apótoma.
Q. E. D.