Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán conmensurables.

Guarden, pues, las dos magnitudes A, B Paso 1 entre sí la razón que el número D guarda con el número E Paso 2. Digo que las magnitudes A, B son conmensurables.

Pues divídase A en tantas magnitudes iguales como unidades hay en D Paso 3, y sea C igual a una de ellas Paso 4; y compóngase F de tantas unidades iguales a C como unidades hay en E Paso 5.

Así pues, dado que, cuantas unidades hay en D, tantas magnitudes iguales a C hay en A, entonces, la parte que la unidad es de D, la misma parte es también C de A; luego, C / A = U / D [Def. VII.20]. Pero la unidad mide al número D; entonces también C mide a A. Ahora bien, dado que, C / A = U / D, entonces, por inversión, A / C = D / U [Cor. Prop. V.7]. Y puesto que, cuantas unidades hay en E, tantas hay a su vez en F iguales a C, entonces C / F = U / E [Def. VII.20]. Pero se ha demostrado que también A / C = D / U; entonces, por igualdad, A / F = D / E [Prop. V.22]; ahora bien, D / E = A / B; entonces, A / B = A / F [Prop. V.11]. Luego A guarda la misma razón con cada una de las magnitudes B, F; por tanto, B = F [Prop. V.9]. Pero C mide a F; luego mide también a B. Pero también a A; luego C mide a A, y a B. Por tanto, A es conmensurable con B.

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que, si hay dos números, como D, E, y una recta, como A, es posible hacer una recta F que sea a la recta como el número D es al número E.

Pero, si se toma una media proporcional B de A, F, esto es, A/B=B/F, entonces A / F = A² / B² , es decir que como la primera es a la tercera, así la figura construida sobre la primera es a la figura semejante y construida de manera semejante sobre la segunda [Cor. Prop. VI.19]. Pero A / F = D / E; entonces como el número D es al número E, así también la figura construida sobre la recta A a la figura construida sobre la recta B.