Hallar dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo racional, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella la mayor.
Pónganse las dos rectas racionales A, B conmensurables sólo en cuadrado , de modo que el cuadrado de A que es la mayor sea mayor que el cuadrado de la menor, B, en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella A [Prop. X.29]. Y sea el cuadrado de C igual al rectángulo comprendido por A, B . Pero el rectángulo comprendido por A, B es medial [Prop. X.21]; entonces el cuadrado de C también es medial, luego C es también medial [Prop. X.21]. Sea el rectángulo comprendido por CD igual al cuadrado de B ; pero el cuadrado de B es racional; luego el rectángulo comprendido por CD es también racional. Ahora bien, dado que como A es a B, así el rectángulo comprendido por A, B es al cuadrado de B, mientras que el cuadrado de C es igual al rectángulo comprendido por A, B, y el rectángulo comprendido por C, D es igual al cuadrado de B, entonces, como A es a B, así el cuadrado de C al rectángulo comprendido por C, D. Pero, como el cuadrado de C es al rectángulo comprendido por C, D, así C es a D; entonces, como A es a B, así C a D. Pero A es conmensurable con B sólo en cuadrado; luego C es también conmensurable con D sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Y es medial; por tanto D también es medial [Prop. X.23]. Ahora bien, dado que, como A es a B, C es a D, y el cuadrado de A es mayor que el de B en el cuadrado de una recta conmensurable con ella A, entonces el cuadrado de C es también mayor que el de D en el cuadrado de una recta conmensurable con ella C [Prop. X.14]. Por consiguiente, se han hallado dos rectas mediales C, D conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo racional, y el cuadrado de C es mayor que el de D en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella C.
De manera semejante se demostraría que el cuadrado de C es mayor que el cuadrado de D en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella C, siempre que el cuadrado de A sea mayor que el de B en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella A [Prop. X.30].
Q. E. D.