El cuadrado de una recta segunda bimedial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una tercera binomial.

Sea AB la recta segunda bimedial dividida en sus mediales por el punto C, de modo que AC sea el segmento mayor; y sea DE una recta racional, y aplíquese a DE el paralelogramo DF igual al cuadrado de AB que produzca como anchura DG. Digo que DG es una tercera binomial.

Sígase la misma construcción que en las demostraciones anteriores. Y como AB es una segunda bimedial dividida por el punto C, entonces AC, CB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial [Prop. X.38]; de modo que la suma de los cuadrados de AC, CB es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y es igual a DL; luego DL es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional DE; así pues MD es también racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Por lo mismo MG es entonces también racional e inconmensurable en longitud con ML, es decir con DE; luego cada una de las rectas DM, MG es también racional e inconmensurable en longitud con DE. Ahora bien, puesto que AC es inconmensurable en longitud con CB, mientras que, como AC es a CB, así el cuadrado de AC al rectángulo comprendido por AC, CB, entonces, el cuadrado de AC es también inconmensurable con el rectángulo AC, CB [Prop. X.11]. De modo que la suma de los cuadrados de AC, CB es también inconmensurable con el doble del rectángulo AC, CB [Prop. X.12 y Prop. X.13], es decir, DL con MF; de modo que DM es también inconmensurable con MG [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Y son racionales; por tanto, DG es una binomial [Prop. X.36].

Hay que demostrar ahora que también es tercera.

De manera semejante a los teoremas anteriores concluiríamos que DM es mayor que MG, y DK es conmensurable con KM. Y el rectángulo DK, KM es igual al cuadrado de MN; entonces el cuadrado de DM es mayor que el de MG en el cuadrado de una recta conmensurable con ella [DM]. Y ninguna de las rectas DM, MG es conmensurable en longitud con DE. Por consiguiente, DG es una tercera binomial [Def. Def. X-II-3].

Q. E. D.