El cuadrado del lado de la suma de dos áreas mediales, aplicado a una recta racional produce como anchura una sexta binomial.

Sea AB el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales, dividido por el punto C, y sea DE una recta racional, y aplíquese a DE el paralelogramo DF igual al cuadrado de AB, que produzca la anchura DG. Digo que DG es una sexta binomial.

Sígase pues la misma construcción que en los teoremas anteriores. Y como AB, el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales, se ha dividido por el punto C, entonces AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial, el rectángulo comprendido por ellas también medial, y además la suma de sus cuadrados inconmensurable con el rectángulo comprendido por ellas [Prop. X.41]; de modo que, según las demostraciones anteriores, cada uno de los rectángulos DL, MF es medial. Y se han aplicado a la recta racional DE; así pues, cada una de las rectas DM, MG es racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Ahora bien, puesto que la suma de los cuadrados de AC, CB es inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, entonces DL es inconmensurable con MF. Luego DM es inconmensurable con MG [Prop. VI.1; Prop. X.11]; entonces DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, DG es una recta binomial [Prop. X.36].

Digo ahora que también es sexta.

Pues de manera semejante demostraríamos a su vez que el rectángulo DK, KM es igual al cuadrado de MN, y que DK es inconmensurable en longitud con KM; y por lo mismo, entonces, el cuadrado de DM es mayor que el de MG en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella DM. Ahora bien, ninguna de las rectas DM, MG es conmensurable en longitud con la recta propuesta DE. Por consiguiente, DG es una sexta binomial.

Q. E. D.