Un área medial no excede a otra medial en un área racional.
Pues, si es posible, exceda el área AB al área medial AC en el área racional DB , y póngase la recta racional EF, y aplíquese a EF el paralelogramo rectángulo FH igual a AB de modo que produzca la anchura EH , y quítese el rectángulo FG igual a AC ; entonces el resto BD es igual al resto KH . Pero DB es racional; por tanto KH también es racional. Así pues, dado que cada uno de los rectángulos AB, AC es medial, y AB es igual a FH, mientras que AC es igual a FG, entonces cada uno de los rectángulos FH, FG es también medial. Y se han aplicado a la recta racional EF; entonces cada una de las rectas HE, EG es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Ahora bien, puesto que DB es racional y es igual a KH; entonces KH, es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional EF; luego GH es también racional y conmensurable en longitud con EF [Prop. X.20]. Pero EG es también racional e inconmensurable en longitud con EF; entonces EG es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.13]. Ahora bien, como EG es a GH, así el cuadrado de EG es al rectángulo comprendido por EG, GH; entonces el cuadrado de EG es inconmensurable con el rectángulo comprendido por EG, GH [Prop. X.11]. Pero los cuadrados de EG, GH son conmensurables con el cuadrado de EG, porque ambos son racionales; pero dos veces el rectángulo comprendido por EG, GH es conmensurable con el rectángulo comprendido por EG, GH, porque es el doble que él [Prop. X.6]; por tanto, los cuadrados de EG, GH son inconmensurables con dos veces el rectángulo comprendido por EG, GH [Prop. X.13]; luego, tanto la suma de los cuadrados de EG, GH como dos veces el rectángulo comprendido por EG, GH, que es precisamente el cuadrado de EH [Prop. II.4], es inconmensurable con los cuadrados de EG, GH [Prop. X.16]. Pero los cuadrados de EG, GH son racionales; luego el cuadrado de EH no es racional [Def. X.4]. Por tanto, EH no es racional. Pero también es racional; lo cual es imposible.
Q. E. D.