Sea ABC un triángulo rectángulo que tenga recto el ángulo correspondiente a A y trácese la perpendicular AD . Digo que el rectángulo comprendido por CB, BD es igual al cuadrado de BA, mientras que el rectángulo comprendido por BC, CD es igual al cuadrado de CA, y el rectángulo comprendido por BD, DC es igual al cuadrado de AD y además el rectángulo comprendido por BC, AD es igual al rectángulo comprendido por BA, AC.
En primer lugar digo que el rectángulo comprendido por CB, BD es igual al cuadrado de BA. Pues como, en un triángulo rectángulo, se ha trazado la perpendicular AD desde el ángulo recto hasta la base, entonces los triángulos ABD, ADC son semejantes al triángulo entero ABC y entre sí [Prop. VI.8]. Y puesto que el triángulo ABC es semejante al triángulo ABD, entonces, como CB es a BA, así BA a BD [Prop. VI.4]; luego el rectángulo comprendido por CB, BD es igual al cuadrado de AB [Prop. VI.17]. Por lo mismo entonces, el rectángulo comprendido por BC, CD es igual también al cuadrado de AC. Ahora bien, dado que, si en un triángulo rectángulo se traza una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, la recta trazada es la media proporcional de los segmentos de la base [Cor. Prop. VI.8], entonces, como BD es a DA, así AD a DC; luego el rectángulo comprendido por BD, DC es igual al cuadrado de DA [Prop. VI.17]. Digo que el rectángulo comprendido por BC, AD es igual también al rectángulo comprendido por BA, AC. Pues como, según hemos dicho, el triángulo ABC es semejante al triángulo ABD, entonces, como BC es a CA, así BA a AD [Prop. VI.4]. Por consiguiente, el rectángulo comprendido por BC, AD es igual al rectángulo comprendido por BA, AC [Prop. VI.16].
Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados racional pero el rectángulo comprendido por ellas, medial.
Pónganse dos rectas racionales AB, BC conmensurables sólo en cuadrado , de modo que el cuadrado de la mayor, AB, sea mayor que el cuadrado de la menor, BC, en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AB [Prop. X.30], y divídase BC en dos partes iguales por el punto D , y aplíquese a AB un paralelogramo igual al cuadrado de cada una de las rectas BD, DC y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AE, EB [Prop. VI.28]. Descríbase sobre AB el semicírculo AFB y trácese EF formando ángulos rectos con AB y trácense AF, FB . Y como AB, BC son dos rectas desiguales y el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de BC en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AB, mientras que se ha aplicado a AB un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de BC, es decir, al cuadrado de su mitad, y deficiente en la figura de un cuadrado, produciendo el rectángulo comprendido por AE, EB, entonces AE es inconmensurable con EB [Prop. X.18]. Ahora bien, como AE es a EB, así el rectángulo comprendido por BA, AE al rectángulo comprendido por AB, BE, mientras que el rectángulo comprendido por BA, AE es igual al cuadrado de AF, y el rectángulo comprendido por AB, BE al cuadrado de BF; entonces el cuadrado de AF es inconmensurable con el cuadrado de FB; luego AF, FB son inconmensurables en cuadrado. Y como AB es racional, entonces el cuadrado de AB es también racional. De modo que la suma de los cuadrados de AF, FB es también racional [Prop. I.47]. Y puesto que a su vez el rectángulo comprendido por AE, EB es igual al cuadrado de EF y se ha supuesto que el rectángulo comprendido por AE, EB es igual también al cuadrado de BD, entonces FE es igual a BD; luego BC es el doble de FE; de modo que el rectángulo comprendido por AB, BC es también conmensurable con el rectángulo comprendido por AB, EF. Pero el rectángulo comprendido por AB, BC es medial [Prop. X.21]; luego el rectángulo comprendido por AB, EF es también medial [Cor. Prop. X.23]. Pero el rectángulo comprendido por AB, EF es igual al rectángulo comprendido por AF, FB [Lema Prop. X.33]: por tanto, el rectángulo comprendido por AF, FB es también medial. Y se ha demostrado que la suma de sus cuadrados es también racional. Por consiguiente, se han hallado las dos rectas AF, FB inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional pero el rectángulo comprendido por ellas, medial.
Q. E. D.