Si se suman dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera no es racional; llámesela binomial.

Súmense, pues, las dos rectas racionales AB, BC conmensurables sólo en cuadrado. Digo que el total AC no es racional.

Pues, dado que AB es inconmensurable en longitud con BC, porque son conmensurables sólo en cuadrado, mientras que, como AB es a BC, así el rectángulo comprendido por AB, BC al cuadrado de BC, entonces, el rectángulo comprendido por AB, BC es inconmensurable con el cuadrado de BC [Prop. X.11]. Pero el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es conmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.6], mientras que los cuadrados de AB, BC son conmensurables con el cuadrado de BC, porque AB, BC son racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.15], luego el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es inconmensurable con los cuadrados de AB, BC. Y, por composición, el doble del rectángulo comprendido por AB, BC junto con los cuadrados de AB, BC, es decir, el cuadrado de AC [Prop. II.4], es inconmensurable con la suma de los cuadrados de AB, BC [Prop. X.16]: pero la suma de los cuadrados de AB, BC es racional; entonces el cuadrado de AC no es racional; de modo que AC tampoco es racional; llámesela binomial.

Q. E. D.