Hallar una recta segunda binomial.
Pónganse dos números AC, CB de modo que su suma AB guarde con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y póngase la recta racional D , y sea la recta EF conmensurable en longitud con D ; entonces EF es racional. Y hágase de forma que, como el número CA es al número AB, sea así el cuadrado de EF al cuadrado de FG [Cor. Prop. X.6]; entonces el cuadrado de EF es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Luego FG es racional. Ahora bien, dado que el número CA no guarda con el número AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de EF guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces EF es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]; luego EF, FG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, EG es binomial.
Hay que demostrar ahora que también es segunda.
Pues, dado que, por inversión, como el número BA es al número AC, así el cuadrado de GF al cuadrado de FE, mientras que BA es mayor que AC; entonces el cuadrado de GF es mayor que el cuadrado de FE. Sean los cuadrados de EF, H iguales al cuadrado de GF ; entonces, por conversión, como AB es a BC, así el cuadrado de FG al cuadrado de H [Cor. Prop. V.19]. Pero AB guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego el cuadrado de FG guarda también con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Por tanto, FG es conmensurable en longitud con H [Prop. X.9]; de modo que el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de FE en el cuadrado de una recta conmensurable con ella FG. Ahora bien, FG, FE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el término menor EF es conmensurable en longitud con la recta racional dada D. Por consiguiente, EG es una segunda binomial.
Q. E. D.