Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo racional, la recta entera no es racional; llámesela primera bimedial.

Súmense, pues, las dos rectas mediales AB, BC conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo racional. Digo que el total AC no es racional.

Pues como AB es inconmensurable en longitud con BC, entonces los cuadrados de AB, BC son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.36; Prop. II.9-20]. Ahora bien, por composición, los cuadrados de AB, BC junto con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC, que es precisamente el cuadrado de AC [Prop. II.4], es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC; y el rectángulo comprendido por AB, BC es racional; porque se ha supuesto que AB, BC comprenden un rectángulo racional. Por tanto, el cuadrado de AC no es racional [Def. X.4]; llámesela primera bimedial.

Q. E. D.