Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.
Sean, pues, A, B conmensurables en longitud . Digo que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.
Pues como A es conmensurable en longitud con B, entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [Prop. X.5]. Guarde la razón de C a D . Pues bien, dado que, como A es a B, así C a D, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B, porque las figuras semejantes guardan una razón duplicada de la de sus lados correspondientes [Cor. Prop. VI.20]; y dado que el cuadrado de C guarda con el cuadrado de D una razón duplicada de la que C guarda con D, porque entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional, y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado [Prop. VIII.11]; luego como el cuadrado de A es al cuadrado de B, así el cuadrado de C es al cuadrado de D.
Pero ahora, como el cuadrado de A es al cuadrado de B, sea así el cuadrado de C al cuadrado de D. Digo que A es conmensurable en longitud con B.
Pues, dado que, como el cuadrado de A es al cuadrado de B, así el cuadrado de C al de D, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B, y el cuadrado de C guarda con el cuadrado de D una razón duplicada de la que C guarda con D, entonces, como A es a B, así C a D. Luego A guarda con B la razón que el número C guarda con el número D. Por tanto A es conmensurable en longitud con B [Prop. X.6].
Sea ahora A inconmensurable en longitud con B. Digo que el cuadrado de A no guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.
Pues si el cuadrado de A guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, A será conmensurable con B. Pero no lo es; luego el cuadrado de A no guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.
No guarde ahora el cuadrado de A con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Digo que A es inconmensurable en longitud con B.
Pues si A es conmensurable con B, el cuadrado de A guardará con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no la guarda; luego A no es conmensurable en longitud con B.
Q. E. D.
Y a partir de lo demostrado quedará claro que las rectas conmensurables en longitud también lo son siempre en cuadrado, mientras que las conmensurables en cuadrado no lo son siempre en longitud.