Entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional y el número cuadrado guarda con el número
cuadrado una razón duplicada de la que el lado
guarda con el lado.
Sean A, B los números cuadrados y sea C el lado de A y D el de B .
Digo que hay un número que es media proporcional entre A y B, y que A guarda con B una razón duplicada de la que C guarda con D.
Pues C, al multiplicar a D, haga el número E . Y puesto que A es un número cuadrado y C es su lado, entonces C, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el
número A. Por lo mismo, D, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número B. Así pues, como C, al multiplicar a los números C, D, ha hecho los números A, E
respectivamente, entonces, como C es a D, así A, a E [Prop. VII.17]. Por lo mismo, también, como C es a D, así E a B [Prop. VII.18]. Luego también, como A es a E, así E a B.
Por tanto, entre A, B hay un número media proporcional.
Digo además que A guarda con B una razón duplicada de la que C guarda con D.
Pues como A, E, B son tres números en proporción, entonces A guarda con B una razón duplicada de la que A guarda con E [Def. V.9]. Pero como A es a E, así C a D.
Por consiguiente, A guarda con B una razón duplicada de la que C guarda con D.
Q. E. D.