Entre dos números sólidos semejantes caen dos números que son medias proporcionales; y el número sólido guarda con el número sólido semejante una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

Sean A, B dos números sólidos semejantes Paso 1, y sean C, D, E los lados de A Paso 2, y F, G, H los de B Paso 3. Y como sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales [Def. VII.22], entonces como C es a D, así F a G, y como D es a E, así G a H.

Digo que entre A, B caen dos números que son medias proporcionales y que A guarda con B una razón triplicada de la que C guarda con F y D con G y además E con H.

Pues haga C, al multiplicar a D, el número K Paso 4, y haga F, al multiplicar a G, el número L Paso 5. Y como C, D están en la misma razón que F, G y el producto de C, D es K, mientras que L es el producto de F, G, entonces K, L son números planos semejantes [Def. VII.22]; por tanto, entre K, L hay un número que es media proporcional [Prop. VIII.18]. Sea M Paso 6. Entonces M es el producto de D, F, según se ha demostrado en el teorema anterior [Prop. VIII.18]. Y puesto que D, al multiplicar a C, ha hecho el número K, y al multiplicar a F ha hecho el número M, entonces, como C es a F, así K a M [Prop. VII.17]. Pero como K es a M, M es a L. Luego, K, M, L son continuamente proporcionales en la razón de C a F. Puesto que, como C es a D, así F a G, entonces, por alternancia, como C es a F, así D a G [Prop. VII.13]. Por lo mismo, también, como D es a G, así E a H. Así pues, K, M, L son continuamente proporcionales en la razón de C a F y en la de D a G y además en la de E a H. Ahora bien, hagan los números E, H, al multiplicar a M, los números N, O respectivamente. Y puesto que A es un número sólido y C, D, E sus lados, entonces E, al multiplicar al producto de C, D, ha hecho el número A. Pero el producto de C, D es K; entonces E, al multiplicar a K, ha hecho A. Así que, también, por lo mismo, H, al multiplicar a L, ha hecho el número B. Y puesto que E, al multiplicar a K, ha hecho el número A, mientras que, al multiplicar a M, ha hecho el número N, entonces, como K es a M, así A a N [Prop. VII.17]. Pero, como K es a M, así C a F y D a G y además E a H. Entonces también, como C es a F y D a G y E a H, así A a N. Puesto que, a su vez, E, H, al multiplicar a M, han hecho los números N, O respectivamente Paso 7, entonces, como E es a H, así N a O [Prop. VII.18]. Pero, como E es a H, así C a F y D a G; luego también, como C es a F y D a G y E a H, así A a N y N a O. Puesto que H, a su vez, al multiplicar a M, ha hecho el número O, mientras que, al multiplicar también a L, ha hecho el número B, entonces, como M es a L, así O a B [Prop. VII.17]. Pero como M es a L, así C a F y D a G y E a H. Luego también, como C es a F y D a G y E a H, así no sólo O a B, sino también A a N y N a O. Por tanto, A, N, O, B son continuamente proporcionales en las antedichas razones de los lados.

Digo también que A guarda con B una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir, de la que el número C guarda con el número F, o el número D con el número G y además el número E con el número H. Pues como A, N, O, B son cuatro números continuamente proporcionales, entonces A guarda con B una razón triplicada de la que A guarda con N [Def. V.10]. Pero se ha demostrado que como A es a N, así C a F y D a G y además E a H.

Por consiguiente, también A guarda con B una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir de la que el número C guarda con el número F y el número D con el número G y además el número E con el número H.

Q. E. D.