Si un número cubo mide a un número cubo, también el lado medirá al lado; y si el lado mide al lado,
también el cubo medirá al cubo.
Pues mida el número cubo A al número cubo B , y sea C el lado de A y D el de B .
Digo que C mide a D.
Pues C, al multiplicarse por sí mismo, haga el número E , y D, al multiplicarse por sí mismo, haga el número G y además C, al multiplicar a D, haga el número F , y C, D,
al multiplicar a F, hagan los números H, K respectivamente . Pues bien, está claro que E, F, G y A, H, K, B son continuamente proporcionales en la razón
de C a D [Prop. VIII.11 y Prop. VIII.12]. Y puesto que A, H, K, B son continuamente proporcionales y A mide a B, entonces también mide a H [Prop. VIII.7]. Ahora bien, como A es a H,
así C a D. Entonces C también mide a D [Def. VII.21].
Pero ahora mida C a D.
Digo que también A medirá a B.
Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de modo semejante que A, H, K, B son continuamente proporcionales en la razón de C a D. Y puesto que C mide a D
y como C es a D, así A a H, entonces A mide también a H [Def. VII.21]; de modo que B mide también a A.
Q. E. D.