Si entre dos números cae un número que es media proporcional, los números serán números planos semejantes.
Pues caiga un número C que sea la media proporcional entre los números A, B .
Digo que A, B son números planos semejantes.
Tómense los números menores D, E de los que guardan la misma razón con A, C [Prop. VII.13]; entonces, D mide a A el mismo número de veces que E a C [Prop. VII.20].
Y cuantas veces D mida a A, tantas unidades haya en F ; entonces, F, al multiplicar a D, ha hecho el número A. De modo que A es un número plano y D, F sus lados.
Puesto que a su vez D, E son los números menores de los que guardan la misma razón que C, B, entonces, D mide a C el mismo número de veces que E a B [Prop. VII.20].
Ahora bien, cuantas veces E mida a B, tantas unidades haya en G . Entonces, E mide a B según las unidades de G; por tanto, G, al multiplicar a E, ha hecho el número B.
Luego B es un número plano y E, G sus lados. Por tanto, A, B son números planos.
Digo además que son semejantes.
Pues como F al multiplicar a D ha hecho el número A y al multiplicar a E ha hecho el número C, entonces, como D es a E, así A a C, es decir, C a B [Prop. VII.17].
A su vez, puesto que E, al multiplicar a F, G, ha hecho los números C, B respectivamente, entonces, como F es a G, así C a B [Prop. VII.17]. Pero como C es a B, así D a E;
luego también, como D es a E, así F a G. Y, por alternancia, como D es a F, así E a G [Prop. VIII.13].
Por consiguiente, A, B son números planos semejantes: porque sus lados son proporcionales.
Q. E. D.