Dadas tantas razones como se quiera en sus menores números, hallar los números continuamente proporcionales
menores en las razones dadas.
Sean las razones dadas en sus menores números la de A a B y la de C a D y además la de E a F .
Así pues, hay que hallar los números continuamente proporcionales menores en la razón de A a B, en la de C a D y en la de E a F.
Pues tómese G, el menor número medido por B, C [Prop. VII.34]. Y cuantas veces B mide a G, tantas mida también A a H, y cuantas veces C mide a G,
tantas mida también D a K. Ahora bien, E o mide a K o no lo mide. En primer lugar, mídalo. Y cuantas veces E mide a K, tantas mida también F a L.
Y como A mide a H el mismo número de veces que B a G, entonces como A es a B, así H a G [Def. VII.21 y Prop. VII.13]. Por lo mismo, también como C es a D,
así G a K, y además, como E es a F, así K a L ; por tanto, H, G, K, L son continuamente proporcionales en la razón de A a B y también en la de C a D y
además en la de E a F.
Digo además que también son los menores con esta propiedad.
Pues si H, G, K, L no son los números continuamente proporcionales menores en las razones de A a B, de C a D y de E a F, séanlo entonces N, O, M, P .
Ahora bien, puesto que como A es a B, así N a O, mientras que A, B son los menores y los menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo
número de veces el mayor al mayor y el menor al menor, es decir: el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente, entonces B mide a O [Prop. VII.20]:
por lo mismo, C también mide a O; por tanto, B, C miden a O; luego el menor medido por B, C medirá también a O [Prop. VII.35]; pero G es el menor medido por B, C:
entonces G mide a O, el mayor al menor; lo cual es imposible. Así pues, no habrá algunos números menores que H, G, K, L que estén continuamente en la razón de A a B,
ni en la de C a D, ni tampoco en la de E a F.
Ahora no mida E a K . Y tómese M, el menor número medido por E, K . Y cuantas veces K mide a M, tantas veces mida H, G a N, O respectivamente y cuantas veces E mide a M,
tantas mida también F a P. Como H mide a N el mismo número de veces que G a O, entonces como H es a G, así N a O [Def. VII.21 y Prop. VII.13]. Pero como H es a G, así A a B.
Entonces como A es a B, así N a O. Por lo mismo, también como C es a D, así O a M. A su vez, como E mide a M el mismo número de veces que F a P, entonces,
como E es a F, así M a P [Def. VII.21 y Prop. VII.13] ; por tanto, N, O, M, P son continuamente proporcionales en las razones de A a B, de C a D y de E a F.
Digo además que también son los menores en las razones A/B, C/D, E/F.
Pues, si no, habrá algunos números menores que N, O, M, P continuamente proporcionales en
las razones A/B, C/D, E/F. Sean Q, R, S, T . Y puesto que como Q es a R, así A a B, mientras que A, B son los menores y los menores miden a los que guardan la
misma razón que ellos el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20], entonces B mide a R. Por lo mismo,
C también mide a R, por tanto, B, C miden a R. Luego el menor medido por B, C medirá también a R. Pero G es el menor medido por B, C; entonces G mide a R.
Y como G es a R, así K a S [Prop. VII.13]; entonces K mide a S. Pero también E mide a S, luego E, K miden a S. Por tanto, el menor medido por E, K medirá a S.
Pero el menor medido por E, K es M; luego M mide a S, el mayor al menor; lo cual es imposible. Entonces, no habrá algunos números menores que N, O, M, P
continuamente proporcionales en las razones de A a B, de C a D y de E a F.
Por consiguiente, N, O, M, P son los números continuamente proporcionales menores en las razones A/B, C/D, E/F.
Q. E. D.