Si entre cada uno de dos números y una unidad caen números en proporción continua, entonces,
cuantos números caigan en proporción continua entre cada uno de
ellos y la unidad, tantos caerán también en proporción continua entre ellos.
Caigan entre los números A, B y la unidad C los números D, E y los números, G, F en proporción continua.
Digo que cuantos números hayan caído entre cada uno de los números A, y la unidad C en proporción continua, tantos caerán también en proporción continua entre A, B.
Pues D, al multiplicar a F, haga el número H , y D, F, al multiplicar a H, hagan los números K, L respectivamente .
Puesto que como la unidad C es al número D, así D es a E, entonces la unidad C mide al número D el mismo número de veces que D a E [Prop. VII.20] y Def. VII.21].
Pero la unidad C mide al número D según las unidades de D; por tanto, el número D también mide a E según las unidades de D; luego D, al multiplicarse por
sí mismo, ha hecho el número E. Asimismo, puesto que como C es al número D, así E es a A, entonces la unidad C mide al número D el mismo número de veces
que E a A. Pero la unidad C mide al número D según las unidades de D; entonces E mide a A según las unidades de D; entonces D, al multiplicar a E, ha hecho
el número A. Por lo mismo, también F, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número G y, al multiplicar a G, ha hecho el número B.
Y puesto que D, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho E y al multiplicar a F ha hecho H, entonces como D es a F, así E a H [Prop. VII.17]. Por lo mismo, también
como D es a F, así H a G [Prop. VII.18]. Entonces, también, como E es a H, así H a G. Puesto que a su vez D, al multiplicar a los números E, H, ha hecho los números A, K
respectivamente, entonces, como E es a H, así A, a K [Prop. VII.17]. Pero como E es a H, así D a F; entonces, como D es a F, así A a K. Puesto que a su vez D, F,
al multiplicar a H, han hecho los números K, L respectivamente, entonces, como D es a F, así K a A [Prop. VII.18]. Pero como D es a F, así A a K; por tanto,
como A es a K, así K a L. Además, puesto que F, al multiplicar a los números H, G, ha hecho los números L, B respectivamente, entonces, como H es a G,
así L a B [Prop. VII.17]. Pero, como H es a G, así D a F. Entonces, como D es a F, así L a B. Pero se ha demostrado que también como D es a F, así A a K y K a L;
así pues, también, como A es a K, así K a L y L a B. Por tanto, A, K, L, B están en proporción continua.
Por consiguiente, cuantos números han caído en proporción continua entre cada uno de los números A, B y la unidad C, tantos caerán también en proporción continua
entre A, B.
Q. E. D.