Si un número cuadrado mide a un número cuadrado, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado,
el número cuadrado medirá también al número cuadrado.
Sean A, B números cuadrados y sean sus lados C, D y mida A a B.
Digo que C mide también a D.
Pues C, al multiplicar a D, haga el número E ; entonces A, E, B son continuamente proporcionales en la razón de C a D [Prop. VIII.11]. Y puesto que A, E, B son continuamente
proporcionales y A mide a B, entonces A mide también a E [Prop. VIII.7]. Y como A es a E, así C a D; entonces C mide a D [Def. VII.21].
Ahora mida C a su vez a D.
Digo que A también mide a B.
Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que A, E, B son continuamente proporcionales en la razón de C a A. Y puesto que, como C es a D,
así A a E, pero C mide a D, entonces, A mide a E [Def. VII.21]. Y A, E, B son continuamente proporcionales; luego A mide a B.
Por consiguiente, si un número cuadrado mide a un número cuadrado, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado, también el número cuadrado medirá al
número cuadrado.
Q. E. D.