Proposición 2

Hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en una razón dada.

Sea la razón de A a B la razón dada en sus menores números . Así pues, hay que hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en la razón de A a B. Sean cuatro los propuestos, y A, al multiplicarse por sí mismo, haga el número C , y al multiplicar a B, haga el número D , y además B, al multiplicarse por sí mismo, haga el número E y además A, al multiplicar a C, D, E, haga los números F, G, H , y B, al multiplicar a E, haga el número K . Y puesto que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número C y, al multiplicar a B, ha hecho el número D, entonces, como A es a B, así C a D [Prop. VII.17]. Puesto que A, al multiplicar a B, ha hecho a su vez el número D, mientras que B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número E, entonces, cada uno de los números A, B, al multiplicar a B, han hecho los números D, E respectivamente. Por tanto, como A es a B, así D a E [Prop. VII.18]. Pero como A es a B, C es a D; entonces también como C es a D, D es a E. Y puesto que A, al multiplicar a C, D, ha hecho los números F, G, entonces, como C es a D, F es a G [Prop. VII.17]. Pero como C es a D, así A era a B; luego también como A es a B, F es a G. Puesto que A, al multiplicar a D, E, ha hecho a su vez los números G, H, entonces, como D es a E, G es a H [Prop. VII.17]. Pero como D es a E, A es a B. Por tanto, también como A es a B, así G a H. Y puesto que A, B, al multiplicar a E han hecho los números H, K, entonces, como A es a B, así H a K [Prop. VII.18]. Pero como A es a B, así F a G, y G a H. Por tanto, también, como F es a G, así G a H y H a K; luego C, D, E y F, G, H, K son proporcionales en la razón de A a B.

Digo además que también son los menores. Pues como A, B son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, y los menores de los que guardan la misma razón son primos entre sí [Prop. VII.22], entonces A, B son primos entre sí. Y cada uno de los números A, B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho los números C, E respectivamente, mientras que, al multiplicar a los números C, E, ha hecho los números F, K respectivamente; entonces C, E y F, K son primos entre sí [Prop. VII.27]. Pero si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí, son los menores de los que guardan la misma razón que ellos [Prop. VIII.1]. Por consiguiente, C, D, E y F, G, H, K son los menores de los que guardan la misma razón que A, B.

Q. E. D.

Corolario

A partir de esto queda claro que si tres números continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón con ellos, sus extremos son cuadrados y, si son cuatro, cubos.