Hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en una razón dada.
Sea la razón de A a B la razón dada en sus menores números .
Así pues, hay que hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en la razón de A a B.
Sean cuatro los propuestos, y A, al multiplicarse por sí mismo, haga el número C , y al multiplicar a B, haga el número D , y además B, al multiplicarse por sí mismo, haga el número E
y además A, al multiplicar a C, D, E, haga los números F, G, H , y B, al multiplicar a E, haga el número K .
Y puesto que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número C y, al multiplicar a B, ha hecho el número D, entonces, como A es a B, así C a D [Prop. VII.17]. Puesto que A,
al multiplicar a B, ha hecho a su vez el número D, mientras que B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número E, entonces, cada uno de los números A, B, al multiplicar a B,
han hecho los números D, E respectivamente. Por tanto, como A es a B, así D a E [Prop. VII.18]. Pero como A es a B, C es a D; entonces también como C es a D, D es a E. Y puesto que A,
al multiplicar a C, D, ha hecho los números F, G, entonces, como C es a D, F es a G [Prop. VII.17]. Pero como C es a D, así A era a B; luego también como A es a B, F es a G.
Puesto que A, al multiplicar a D, E, ha hecho a su vez los números G, H, entonces, como D es a E, G es a H [Prop. VII.17]. Pero como D es a E, A es a B. Por tanto,
también como A es a B, así G a H. Y puesto que A, B, al multiplicar a E han hecho los números H, K, entonces, como A es a B, así H a K [Prop. VII.18]. Pero como A es a B,
así F a G, y G a H. Por tanto, también, como F es a G, así G a H y H a K; luego C, D, E y F, G, H, K son proporcionales en la razón de A a B.
Digo además que también son los menores. Pues como A, B son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, y los menores de los que guardan la misma razón
son primos entre sí [Prop. VII.22], entonces A, B son primos entre sí. Y cada uno de los números A, B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho los números C, E respectivamente,
mientras que, al multiplicar a los números C, E, ha hecho los números F, K respectivamente; entonces C, E y F, K son primos entre sí [Prop. VII.27]. Pero si tantos números
como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí, son los menores de los que guardan la misma razón que ellos [Prop. VIII.1].
Por consiguiente, C, D, E y F, G, H, K son los menores de los que guardan la misma razón que A, B.
Q. E. D.