Si dos números son primos entre sí y al multiplicarse cada uno a sí mismo hace algún otro número, sus productos serán primos entre sí, y si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también ellos serán primos entre sí y siempre sucede esto con los extremos.

Sean A, B dos números primos entre sí Paso 1, y A al multiplicarse a sí mismo haga el número C Paso 2, y al multiplicar a C haga el número D Paso 3; por otra parte, B al multiplicarse a sí mismo haga el número E Paso 4, y al multiplicar a E haga el número F Paso 5. Digo que C, E y D, F son primos entre sí.

Pues como A, B son primos entre sí, y A al multiplicarse a sí mismo ha hecho el número C, entonces C, B son primos entre sí [Prop. VII.25]. Dado que, en efecto, C, B son primos entre sí y B, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número E, entonces C, E son primos entre sí [Prop. VII.25]. A su vez, como A, B son primos entre sí y B al multiplicarse a sí mismo ha hecho el número E, entonces A, E son primos entre sí [Prop. VII.25]. Así pues, como los dos números A, C son primos ambos con respecto a cada uno de los dos números B, E, entonces el producto de A, C es también primo con respecto al producto de B, E [Prop. VII.26]. Pero el producto de A, C es D, mientras que el producto de B, E es F.

Por consiguiente, D, F son primos entre sí.

Q. E. D.