Hallar el menor número que tenga unas partes dadas.

Sean las partes dadas A, B, C. Así pues, hay que hallar un número que sea el menor que tenga las partes A, B, C.

Pues sean D, E, F números homónimos de las partes A, B, C; y tómese G, el menor número medido por D, E, F [Prop. VII.36]. Entonces, G tiene partes homónimas de D, E, F [Prop. VII.37]. Pero A, B, C son partes homónimas de D, E, F; entonces G tiene las partes A, B, C.

Digo además que es también el menor.

Pues, si no, habrá un número menor que G que tenga las partes A, B, C. Sea H. Puesto que H tiene las partes A, B, C, entonces H será medido por los números homónimos de las partes A, B, C [Prop. VII.38]. Pero D, E, F son números homónimos de las partes A, B, C; entonces H es medido por los números D, E, F. Y es menor que G; lo cual es imposible.

Por consiguiente, no habrá ningún número menor que G que tenga las partes A, B, C.

Q. E. D.