Si un número es parte de un número y otro número es
la misma parte de otro, también, por alternancia, la parte o partes que el primero es del tercero, la misma parte
o partes será el segundo del cuarto.
Pues sea el número A parte del número BC , y otro número D la misma parte de otro EF que A de BC .
Digo que también, por alternancia, la parte o partes que A es de D, la misma parte o partes es también BC de EF.
Pues como A es parte de BC y D es la misma parte de EF, entonces, cuantos números iguales a A hay en BC,
tantos hay también en EF iguales a D. Divídase BC en los números BG, GC iguales a A , y EF en los números EH, HF
iguales a D ; entonces, la cantidad de los números BG, GC será igual a la cantidad de los números EH, HF.
Ahora bien, puesto que los números BG, GC son iguales entre sí, y los números EH, HF son también iguales entre sí,
mientras que la cantidad de los números BG, GC es igual a la cantidad de los números EH, HF entonces la parte
o partes que BG es de EH, la misma parte o las mismas partes es también GC de EH; de modo que también la parte o
partes que BG es de EH, la misma parte o las mismas partes es la suma de ambos, BC, de la suma de ambos, EF.
Pero BG es igual a A y EH a D.
Por consiguiente, la parte o partes que A es de D, la misma parte o las mismas partes es BC de EF.
Q. E. D.
.