Dados tres números no primos entre sí, hallar su máximo común divisor.
Sean A, B, C los tres números dados no primos entre sí .
Así pues, hay que hallar el máximo común divisor de A, B, C.
Tómese pues el máximo común divisor, D, de los dos números A, B [Prop. VII.2] ; entonces D o divide o no divide a C. En primer lugar divídalo; pero divide también a A, B;
entonces D divide a A, B, C. Luego D es un divisor común de A, B, C.
Digo ahora que también es el máximo.
Pues si D no es el máximo común divisor de A, B, C, un número que sea mayor que D dividirá a los números A, B, C. Divídalos y sea E. Así pues, como E divide a A, B, C, entonces dividirá también a A, B, luego dividirá también al máximo común divisor de A, B [Cor. Prop. VII.2]. Pero el máximo común divisor de AB es D; entonces E divide a D, el mayor al menor; lo cual es imposible. Por tanto no dividirá a los números A, B, C un número que sea mayor que D; entonces D es el máximo común divisor de A, B, C.
Ahora no divida D a C.
Digo, en primer lugar, que C, D no son primos entre sí.
Pues, como A, B, C no son primos entre sí, algún número los dividirá. Entonces el que divida a A, B, C, dividirá también a A, B; y dividirá también a D el máximo común divisor de A, B [Cor. Prop. VII.2]; pero divide también a C; entonces un número dividirá a D, C; luego D, C no son primos entre sí. Tómese, pues, su máximo común divisor, E [Prop. VII.2]. Y como E divide a D, mientras que D divide a A, B, entonces E también divide a A, B; pero divide también a C; luego E divide a A, B, C; por tanto, E es un divisor común de A, B, C.
Digo ahora que también es el máximo.
Pues, si E no es el máximo común divisor de A, B, C, un número que sea mayor que E dividirá a los números A, B, C. Divídalos y sea F . Ahora bien, como F divide a A, B, C, también divide a A, B; entonces también dividirá al máximo común divisor de A, B [Cor. Prop. VII.2]. Pero D es el máximo común divisor de A, B; entonces F divide a D; y divide también a C; luego F divide a D, C; por tanto dividirá también al máximo común divisor de D, C [Cor. Prop. VII.2]. Pero E es el máximo común divisor de D, D; entonces F divide a E, el mayor al menor, lo cual es imposible; por tanto, no dividirá a los números A, B, C un número que sea mayor que E.
Por consiguiente, E es el máximo común divisor de A, B, C.
Q. E. D.