Dados dos números desiguales y restándose sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no divide
nunca al anterior hasta que quede una unidad, los números iniciales serán primos entre sí.
Pues sean AB, CD dos números desiguales tales que, restándose sucesivamente el menor del mayor, el que quede no divida nunca al anterior hasta que quede una unidad.
Digo que AB, CD son primos entre sí, es decir que la sola unidad mide a AB, CD.
Pues si AB, CD no son primos entre sí, algún número los dividirá . Divídalos un número y sea E∣AB, E∣CD ; y CD, al dividir a BF, deje FA de resto y AF, al dividir a DG,
deje GC de resto , y GC, al dividir a FH, deje de resto una unidad HA .
Así pues, como E∣CD, Y CD∣BF, entonces E∣BF; pero E∣BA; por tanto E∣AF. Ahora bien,
AF∣DG; entonces E∣DG; pero E∣DC; por tanto E∣CG. Pero CG∣FH; por tanto E∣FH; y como E∣FA;
entonces E∣AH, aun siendo un número; lo cual es imposible. Por tanto, ningún número dividirá a los números AB, CD.
Por consiguiente, AB, CD son primos entre sí [Def. VII.13].
Q. E. D.