Dados tantos números como se quiera,
hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Sean A, B, C tantos números dados como se quiera .
Así pues hay que hallar los menores de los que guardan la misma razón que A, B, C.
Pues A, B, C o son primos entre sí o no. Si, en efecto, son primos entre sí, son los menores de los que
guardan la misma razón que ellos [Prop. VII.21].
Pero si no, tómese el divisor común máxima, D, de A, B, C ; y, cuantas veces divida D a cada uno de los
números A, B, C, tantas unidades haya en cada uno de los números E, F, G . Entonces, los números A, B, C
dividen respectivamente a los números E, F, G, según las unidades de D [Prop. VII.16]. Luego E, F, G dividen
el mismo número de veces a A, B, C; por tanto, E, F, G guardan la misma razón que A, B, C [Def. VII.21].
Digo además que también son los menores.
Pues si E, F, G no son los menores de los que guardan la misma razón que A, B, C, habrá unos números menores que
E, F, G que guarden la misma razón con A, B, C. Sean H, K, L ; entonces F divide a A el mismo número de veces
que K, L dividen respectivamente a B, C. Ahora bien, cuantas veces H divide a A, tantas unidades haya en M;
entonces K, L dividen respectivamente a B, C según las unidades de M . Y puesto que H divide a A según las
unidades de M, entonces M divide también a A según las unidades de H [Prop. VII.16]. Por lo mismo, M divide a B, C
según las unidades de K, L respectivamente; luego M divide a A, B, C. Y como H divide a A según las unidades
de M, entonces H, al multiplicar a M, ha hecho el número A [Def. VII.16]. Por lo mismo, E al multiplicar a D
ha hecho también el número A. Entonces el producto de E, D es igual al producto de H, M. Luego, como E es a H,
así M es a D [Prop. VII.19]. Ahora bien, E es mayor que H; entonces M es también mayor que D, y divide a los
números A, B, C; lo cual es imposible: porque se ha supuesto que D es el divisor común máxima de A, B, C.
Por tanto, no habrá ningún número menor que E, F, G que guarde la misma razón que A, B, C.
Por consiguiente, E, F, G son los números menores de los que guardan la misma razón con A, B, C.
Q. E. D.
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