Si cuatro números son proporcionales, el producto
del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es
igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro números serán proporcionales.
Sean A, B, C, D cuatro números proporcionales tales que como A es a B, así C a D ; y A, al multiplicar a D,
haga el número E , y B, al multiplicar a C, haga el número F .
Digo que E es igual a F.
Pues A, al multiplicar a C, haga el número G .
Así pues, dado que A, al multiplicar a C, ha hecho el número G, y, al multiplicar a D, ha hecho el número E,
entonces, el número A, al multiplicar a los dos números C, D, ha hecho los números G, E. Luego, como C es a D,
así G es a E [Prop. VII.17]. Pero como C es a D, así A es a B; entonces, como A es a B, así también G es a E.
Puesto que D, al multiplicar a C, ha hecho a su vez el número G, mientras que B, al multiplicar a C,
ha hecho el número F; entonces, los dos números A, B, al multiplicar a cierto número, C, han hecho
los números G, F.
Por tanto, como A es a B, así G a F [Prop. VII.18]. Pero, como A es a B, así G a E; entonces, como G es a E,
así también G a F. Por tanto, G guarda la misma razón con cada uno de los números E, F. Luego E
es igual a F [Prop. V.9].
Sea E ahora igual a F.
Digo que, como A es a B, así C a D.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que E es igual a F, entonces, como G es a E, así G a F [Prop. V.7].
Pero como G es a E, así C a A [Prop. VII.17], mientras que, como G es a F, así A a B [Prop. VII.18].
Por consiguiente, como A es a B, así también C a D.
Q. E. D.
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