Si dos números, al multiplicarse entre sí,
hacen algún número y algún número primo divide a su producto, también dividirá a uno de los iniciales.
Hagan, pues, los dos números A, B , al multiplicarse entre sí, el número C , y divida algún número primo, D,
al número C .
Digo que D divide a uno de los números A, B.
Pues no divida a A; pero D es primo; entonces A, D son primos entre sí [Prop. VII.29]. Ahora bien, cuantas veces
divida D a C, tantas unidades haya en E . Así pues, como D divide a C según las unidades de E, entonces D,
al multiplicar a E, ha hecho el número C [Def. VII.16]. Pero, en efecto, A, al multiplicar a B,
ha hecho también el número C; entonces el producto de D, E es igual al producto de A, B. Luego,
como D es a A, así B a E [Prop. VII.19]. Pero D, A son primos y los primos son también los menores [Prop. VII.21],
y los menores dividen el mismo número de veces a los que guardan la misma razón, el mayor al mayor
y el menor al menor, es decir el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20];
así pues, D divide a B. De manera semejante demostraríamos que, si no divide a B, dividirá a A.
Por consiguiente, D divide a uno de los números A, B.
Q. E. D.
.