Dados tres números, hallar el número menor al que dividen.

Sean A, B, C tres números dados. Así pues, hay que hallar el número menor al que dividen. Tómese, pues, D, el número menor que es medido por los dos números A, B [Prop. VII.34]. Entonces C o divide a D o no lo divide.

En primer lugar, divídalo. Pero A, B dividen también a D; entonces A, B, C dividen a D. Digo además que también es el menor al que dividen.

Pues, si no, A, B, C dividirán a un número que sea menor que D. Midan a E. Como A, B, C dividen a E, entonces A, B también dividen a E. Así pues, el menor número medido por A, B también dividirá a E [Prop. VII.35]. Pero el menor número medido por A, B es D; entonces, D dividirá a E, el mayor al menor; lo cual es imposible. Luego, A, B, C no dividirán a algún número que sea menor que D; por tanto, D es el número menor que A, B, C dividen.

Ahora, por el contrario, no divida C a D, y tómese E, el menor número medido por C, D [Prop. VII.34]. Como A, B dividen a D, pero D divide a E, entonces, A, B dividen también a E. Pero C divide también a E; entonces A, B, C dividen también a E.

Digo además que es el menor número al que dividen.

Pues, si no, A, B, C dividirán a algún número que sea menor que E. Midan a F. Como A, B, C dividen a F, entonces A, B dividen también a F; luego el menor número medido por A, B dividirá a F [Prop. VII.35].

Pero el menor número medido por A, B es D; entonces, D divide a F. Pero C también divide a F; por tanto, D, C divide a F; de modo que el menor número medido por D, C también dividirá a F. Pero el menor número medido por C, D es E. Entonces E divide a F, el mayor al menor; lo cual es imposible. Por tanto, A, B, C no dividirán a un número que sea menor que E.

Por consiguiente, E es el menor que es medido por A, B, C.

Q. E. D.