Si una unidad divide a un número cualquiera,
y un segundo número divide el mismo número de veces a otro número cualquiera, por alternancia,
la unidad dividirá también al tercer número el mismo número de veces que el segundo al cuarto.
Pues divida la unidad A a un número cualquiera BC , BC=n⋅A y divida un segundo número, D, a otro número cualquiera
EF el mismo número de veces , EF= n⋅D. Digo que, por alternancia, si D=m⋅A, entonces EF=m⋅BC.
Pues como la unidad A divide al número BC el mismo número de veces que D a EF, entonces, cuantas unidades
hay en BC, tantos números hay en EF iguales a D. Divídase BC en sus unidades BG, GH, HC , y EF
en los números EK, KL, LF iguales a D . Entonces la cantidad de las unidades BG, GH, HC
será igual a la cantidad de los números EK, KL, LF.
Ahora bien, puesto que BG = GH = HC, y EK = KL = LF, mientras que la cantidad de las unidades BG, GH, HC, es igual a la cantidad de
los números EK, KL, LF, entonces, EK / BG = KL /GH = LF / HC. Así pues, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes,
así será la suma de todos los antecedentes a las suma de todos los consecuentes [Prop. VII.12]; por tanto, EK / BG = EK+KL+LF / BG+GH+HC = EF / BC.
Pero BG = A, y EK = D. Luego, D / A = EF / BC.
Por consiguiente, si D / A = m, entonces EF / BC = m.
Q. E. D.
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