Todo número es parte o partes de todo número, el menor del mayor.
Sean dos números A, BC, y sea el menor BC .
Digo que BC es divisor de A o A / BC es una fracción irreducible.
Pues A, BC o son primos entre sí o no lo son.
En primer lugar sean primos entre sí. Entonces, si se divide BC en las unidades que hay en él, cada unidad de las que hay en BC será alguna parte de A;
de modo que BC es partes de A.
Ahora no sean A, BC primos entre sí; entonces BC o divide a A o no lo divide.
Si en efecto BC | A, BC es divisor de A.
Pero, si no, tómese el máximo común divisor,
D, de A, BC [Prop. VII.2] y divídase BC en los números BE, EF, FC iguales a D . Ahora bien, como D divide a A, D es divisor de A; pero D es igual
a cada uno de los números BE, EF, FC; luego cada uno de los números BE, EF, FC es también divisor de A. De modo que BC es divisor de A.
Por consiguiente, todo número es divisor o partes de todo número, el menor del mayor.
Q. E. D.