Los números menores de aquellos que guardan
la misma razón que ellos son primos entre sí.
Sean A, B los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos .
Digo que A, B son primos entre sí.
Pues, si no son primos entre sí, algún número los dividirá. Divídalos un número y sea C . Y, cuantas veces
divide C a A, tantas unidades haya en D , y, cuantas veces C divide a B, tantas unidades haya en E .
Puesto que C divide a A según las unidades de D, entonces C, al multiplicar a D, ha hecho el número A
[Def. VII.16]. Por lo mismo, también C, al multiplicar a E, ha hecho el número B. Así pues, el número C,
al multiplicar a los dos números D, E ha hecho los números A, B; por tanto, como D es a E, así A a B [Prop. VII.17];
entonces D, E guardan la misma razón que A, B, siendo menores que ellos, lo cual es imposible. Luego ningún
número dividirá a los números A, B.
Por consiguiente, A, B son primos entre sí.
Q. E. D.
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