Si dos números son primos entre sí,
su suma también será un número primo con respecto a cada uno de ellos; y si la suma de ambos es
un número primo con respecto a uno cualquiera de ellos, también los números iniciales serán primos entre sí.
Súmense pues los dos números primos entre sí AB, BC .
Digo que también la suma de ambos, AC, es un número primo con respecto a cada uno de los números AB, BC.
Pues si CA, AB no son primos entre sí, algún número dividirá a CA, AB. Divídalos y sea D . Así pues,
como D divide a CA, AB, entonces dividirá también al resto BC. Pero divide también a BA; entonces
a divide a AB, BC que son primos entre sí; lo cual es imposible [Def. VII.13]. Por tanto ningún
número dividirá a CA, AB; luego CA, AB son primos entre sí. Por lo mismo, AC, CB son también primos entre sí.
Entonces CA es primo con respecto a cada uno de los números AB, BC.
Sean ahora CA, AB primos entre sí.
Digo que AB, BC son también primos entre sí.
Pues si AB, BC no son primos entre sí, algún número dividirá a los números AB, BC. Divídalos y sea D.
Ahora bien, como D divide a cada uno de los números AB, BC, entonces dividirá también al total CA.
Pero divide también a AB; entonces D divide a los números CA, AB que son primos entre sí; lo cual
es imposible [Def. VII.13]. Luego ningún número dividirá a los números AB, BC.
Por consiguiente, AB, BC son primos entre sí.
Q. E. D.
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