Si dos números, al multiplicarse entre sí,
hacen ciertos números, los números resultantes serán iguales entre sí.
Sean A , B los dos números, y A, al multiplicar a B, haga el número C , y B, al multiplicar a A,
haga el número D.
Digo que C es igual a D.
Dado que A, al multiplicar a B ha hecho el número C, entonces B divide a C según las unidades de A.
Pero la unidad E divide también al número A según sus unidades; entonces la unidad E divide al número A
el mismo número de veces que B a C. Entonces, por alternancia, la unidad E divide al número B el mismo
número de veces que A a C [Prop. VII.15]. Puesto que B, al multiplicar a A, ha hecho a su vez el número D,
entonces A divide a D según las unidades de B. Pero la unidad E divide también a B según sus unidades;
entonces la unidad E divide al número B el mismo número de veces que A a D. Pero la unidad E medía al
número B el mismo número de veces que A a C; por tanto, A divide el mismo número de veces a cada uno de
los números C, D.
Por consiguiente, C es igual a D.
Q. E. D.
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