Los números primos entre sí son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Sean A, B números primos entre sí .
Digo que A, B son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Pues, si no, habrá algunos números menores que A, B que guarden la misma razón que A, B. Sean C, D .
Así pues, como los números menores de los que guardan la misma razón dividen a los que guardan la misma razón
el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor, es decir, el antecedente al antecedente y
el consecuente al consecuente [Prop. VII.20], entonces C divide a A el mismo número de veces que D a B.
Pues cuantas veces C divide a D, tantas unidades habrá en E . Por tanto, D divide a B según las unidades de E.
Pero, puesto que C divide a A según las unidades de E, entonces E divide a A según las unidades de C [Prop. VII.16].
Luego, por lo mismo, E divide también a B según las unidades de D [Prop. VII.16]. Entonces E divide a A, B que son
primos entre sí. Lo cual es imposible [Def. VII.13]. Luego no habrá algunos números menores que A, B que
guarden la misma razón con A, B.
Por consiguiente, A, B son los menores de aquellos que guardan la misma razón
que ellos.
Q. E. D.
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