Si un número es parte de otro y un tercero la misma parte o partes de un cuarto, el primero es la parte o partes del tercero como el segundo del cuarto .

Pues sea el número AB las mismas partes del número CD que el número restado AE del número restado CF. Digo que el resto EB es las mismas partes del resto FD que el total AB del total CD.

Hágase GH igual a AB. Entonces las partes que GH es de CD, las mismas partes es también AE de CF. Divídase GH en las partes GK, KH de CD y AE en las partes AL, LE de CF; entonces la cantidad de los números GK, KH será igual a la cantidad de los números AL, AE. Y como la parte que GK es de CD, la misma parte es también AL de CF, y CD es mayor que CF, entonces GK es también mayor que AL. Hágase GM igual a AL. Entonces la parte que GK es de CD, la misma parte es también GM de CF; por tanto, el resto MK es la misma parte del resto FD que el total GK del total CD [Prop. VII.7]. Como la parte que KH es de CD, la misma parte es, a su vez, EL de CF, y CD es mayor que CF, entonces HK es mayor que EL. Hágase KN igual a EL. Entonces la parte que KH es de CD, la misma parte es KN de CF. Por tanto, el resto NH es la misma parte del resto FD que el total KH del total CD [Prop. VII.7]. Pero se ha demostrado que el resto MK es la misma parte del resto FD que el total GK del total CD; así pues, la suma de MK, NH es también las mismas partes de DF que el total HG del total CD. Pero la suma de MK, NH es igual a EB, y HG a BA.

Por consiguiente, el resto EB es las mismas partes del resto FD que el total AB del total CD.

Q. E. D.