Los números menores de aquellos que guardan
la misma razón que ellos dividen a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor
y el menor al menor .
Pues sean CD, EF los números menores de aquellos que guardan la misma razón que A, B .
Digo que CD divide a A el mismo número de veces que EF a B.
Porque CD no es partes de A, pues, si fuera posible, sea así; entonces EF es las mismas partes de B que CD
de A [Prop. VII.13 y Def. VII.21]. Luego, cuantas partes hay en CD de A, tantas partes hay en EF de B.
Divídase CD en las partes CG, GD de A , y EF en las partes EH, HF de B ; entonces la cantidad de los números CG, GD
será igual a la cantidad de los números EH, HF. Ahora bien, puesto que los números CG, GD son iguales entre sí
y los números EH, HF son también iguales entre sí, mientras que la cantidad de los números CG, GD es igual a
la cantidad se los números EH, HF, entonces, como CG es a EH, así GD a HF. Por tanto, como uno de los
antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes serán a todos los consecuentes [Prop. VII.12].
Luego, como CG es a EH, así CD a EF; por tanto, CG, EH guardan la misma razón que CD, EF, siendo menores
que ellos; lo cual es imposible: porque se ha supuesto que CG, EF son los menores de los que guardan
la misma razón que ellos. Luego CG no es partes de A; entonces es parte de A [Prop. VII.4]. Y EF es la misma parte
de B que CD de A [Prop. VII.13 y Def. VII.21].
Por consiguiente, CD divide a A el mismo número de veces que EF a B.
Q. E. D.
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