Si un número es partes de un número y otro número
es las mismas partes de otro, también, por alternancia, las partes o parte que el primero es del tercero,
las mismas partes o la misma parte será también el segundo del cuarto.
Pues sea el número AB partes del número C , y otro número DE las mismas partes de otro F .
Digo que también, por alternancia, las partes o parte que AB es de DE, las mismas partes o la misma parte es
también C de F.
Pues como las partes que AB es de C, las mismas partes es DE de F, entonces, cuantas partes de C hay en AB,
tantas partes habrá también en DE de F. Divídase AB en las partes de C, a saber: AG, GB , y DE en las partes de F,
a saber: AH, HE ; entonces la cantidad de los números AG, GB será igual a la cantidad de los números AH, HE.
Ahora bien, puesto que la parte que AG es de C, la misma parte es también AH de F, también, por alternancia,
la parte o partes que AG es de AH, la misma parte o las mismas partes es también C de F [Prop. VII.9].
Por lo mismo entonces, la parte o partes que GB es de HE, la misma parte o las mismas partes es también C de F;
de modo que asimismo la parte o partes que AG es de DH, la misma parte o las mismas partes es también GB de HE;
por tanto la parte o partes que AG es de DH, la misma parte o las mismas partes es también AB de AE;
pero se ha demostrado que la parte o partes que AG es de DH, la misma parte o las mismas partes es C de F,
y entonces] las partes o parte que es AB de DE, las mismas partes o parte es también C de F [Prop. VII.5, Prop. VII.6]
Q. E. D.
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