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Si dos números son primos con respecto a otro número,
también su producto será primo con respecto al mismo número.
Sean los dos números A, B primos con respecto a un número C , y A, al multiplicar a B, haga D .
Digo que C, D son primos entre sí.
Pues si C, D no son primos entre sí, algún número dividirá a C, D. Divídalos y sea E . Ahora bien, puesto
que C, A son primos entre sí, y cierto número E divide a C , entonces A, E son primos entre sí [Prop. VII.23].
Entonces, cuantas veces E divide a D, tantas unidades hay en F; por tanto, F divide también a D según
las unidades de E [Prop. VII.16]. Luego E, al multiplicar a F, ha hecho el número D [Def. VII.16]. Pero también A,
al multiplicar a B, ha hecho el número D; así pues, el producto de E, F es igual al producto de A, B. Pero si
el producto de los extremos es igual al producto de los medios, los cuatro números son proporcionales [Prop. VII.19].
Entonces, como E es a A, así B es a F. Pero A, E son primos entre sí y los primos son también los menores,
y los números menores de los que guardan la misma razón que ellos dividen a los que guardan la misma razón
el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor, es decir: el antecedente al antecedente
y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]. Por tanto, E divide a B; pero también divide a C; luego E
divide a B, C que son primos entre sí; lo cual es imposible [Def. VII.13]. Por tanto ningún número dividirá
a los números C, D.
Por consiguiente, C, D son primos entre sí.
Q. E. D.
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