Dados dos números, hallar el menor número al que
dividen.
Sean A, B los dos números dados .
Así pues hay que hallar el menor número al que dividen.
Pues bien, A, B o son primos entre sí o no.
En primer lugar sean A, B primos entre sí, y A al multiplicar a B
haga el número C ; entonces B al multiplicar a A ha hecho también el número C [Prop. VII.16]. Entonces A, B dividen a C.
Digo además que también es el menor número al que dividen.
Pues, si no, A, B dividirán a algún número que sea menor que C. Midan a D . Y cuantas veces A divide a D,
tantas unidades haya en E , y, cuantas veces B divide a D, tantas unidades haya en F ; entonces A,
al multiplicar a E, ha hecho el número D, y B, al multiplicar a F, ha hecho el número D [Def. VII.16];
entonces el producto de A, E es igual al producto de B, F. Por tanto, como A es a B, así F a E [Prop. VII.19];
pero A, B son primos, y los primos son también los menores [Prop. VII.21] y los menores dividen a los que guardan
la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor [Prop. VII.20]; así pues, B divide a E,
como el consecuente al consecuente. Y como A, al multiplicar a B, E, ha hecho los números C, D,
entonces, como B es a E, así C a D [Prop. VII.17]. Pero B divide a E; luego C divide también a D, el mayor al menor;
lo cual es imposible. Por tanto, A, B no dividen a algún número que sea menor que C. Luego C es el
menor que es medido por A, B.
Ahora, no sean A, B primos entre sí , y tómense los números menores F, E de los que guardan la misma razón
con A, B [Prop. VII.33]; entonces, el producto de A, E es igual al producto de B, F [Prop. VII.19]. Y haga A,
al multiplicar a E, el número C ; entonces B, al multiplicar a F, ha hecho también el número C; así pues, A, B
dividen a C.
Digo además que también es el menor número al que dividen.
Pues, si no, A, B dividirán a algún número que sea menor que C. Midan a D . Y cuantas veces A divide a D,
tantas unidades haya en G, y cuantas veces B divide a D, tantas unidades haya en H . Entonces, A al
multiplicar a G ha hecho el número D, y B al multiplicar a H ha hecho el número D. Así pues, el producto
de A, G es igual al producto de B, H; luego, como A es a B, así H a G [Prop. VII.19]. Pero como A es a B, así F a E.
Por tanto, también, como F es a E, así H a G. Pero F, E son los menores, y los menores dividen a los que
guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor [Prop. VII.20].
Entonces, E divide a G. Y como A, al multiplicar a E, ha hecho los números C, D, entonces,
como E es a G, así C a D [Prop. VII.17]. Pero E divide a G; luego C también divide a D, el mayor al menor;
lo cual es imposible. Por tanto, A, B no dividen a algún número que sea menor que C.
Por consiguiente, C es el número menor que es medido por A, B.
Q. E. D.
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