Los números planos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.
Sean A, B números planos y sean los números C, D los lados de A , y E, F los de B .
Digo que A guarda con B una razón compuesta de las razones de sus lados.
Pues dadas las razones que guardan C con E y D con F, tómense G, H, K , los números menores que están continuamente en las razones C/E, D/F, de modo que como C es a E,
así G a H y como D es a F, así H a K [Prop. VIII.4] y D, al multiplicar a E, haga el número L .
Y puesto que D, al multiplicar a C, ha hecho el número A, mientras que al multiplicar a E ha hecho el número L, entonces, como C es a E, así A a L [Prop. VII.17].
Pero como C es a E, así G a H; entonces, también, como G es a H, así A a L. Puesto que E a su vez, al multiplicar a D, ha hecho el número L, mientras que,
al multiplicar también a F, ha hecho el número B, entonces, como D es a F, así L a B [Prop. VII.17]. Pero como D es a F, así H a K; luego, también, como H es a K,
así L a B Pero se ha demostrado también que como G es a H, así A a L; entonces, por igualdad, como G es a K, A es a B [Prop. VII.14], pero G guarda con K la razón
compuesta de las razones de sus lados.
Por consiguiente, A guarda con B la razón compuesta a partir de las razones de sus lados.
Q. E. D.