Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y cada uno, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, los productos serán proporcionales; y, si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también estos últimos serán proporcionales.

Sean A, B, C tantos números como se quiera continuamente proporcionales Paso 1, es decir que como A es a B, así B a C; y A, B, C, al multiplicarse por sí mismos, hagan los números D, E, F Paso 2, y D, E, F, al multiplicarse a sí mismos, hagan los números G, H, K Paso 3. Digo que D, E, F y G, H, K son continuamente proporcionales.

Haga, pues, A, al multiplicar a B, el número L, y A, B, al multiplicar a L, hagan los números M, N respectivamente Paso 4. Y B, al multiplicar a su vez a C, haga O, y B, C, al multiplicar a O, hagan los números P, R respectivamente Paso 5.

Así pues, de manera semejante a lo anterior demostraríamos que D, L, E y G, M, N, H son continuamente proporcionales en la razón de A a B, y además E, O, F y H, P, R, K son continuamente proporcionales en la razón de B a C. Ahora bien, como A es a B, así B a C; entonces D, L, E guardan la misma razón que E, O, H y además G, M, N, H guardan la misma razón que H, P, R, K. Y la cantidad de los números D, L, E es igual a la cantidad de los números E, O, F y la de G, M, N, H igual a la de H, P, R, K.

Por consiguiente, por igualdad, como D es a E, así E a F, y como G es a H, así H a K [Prop. VII.14].

Q. E. D.