Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primero no mide al segundo,
tampoco ningún otro medirá a ninguno.
Sean A, B, C, D, E tantos números como se quiera continuamente proporcionales y A no mida a B .
Digo que tampoco ningún otro medirá a ningún otro.
Está claro que A, B, C, D, E no se miden sucesivamente entre sí, pues ni siquiera A mide a B.
Digo además que ningún otro medirá a ninguno.
Pues, de ser posible, mida A a C. Y, cuantos números sean A, B, C, tómense tantos números F, G, H, los menores de los que guardan la misma razón que A, B, C [Prop. VII.33].
Y puesto que F, G, H guardan la misma razón que A, B, C, y la cantidad de los números A, B, C, es igual a la cantidad de los números F, G, H, entonces, por igualdad,
como A es a C, así F a H [Prop. VII.14]. Ahora bien, dado que como A es a B, así F, a, G, y A no mide a B, entonces tampoco F mide a G [Def. VII.21]; por tanto,
F no es una unidad; pues la unidad mide a cualquier número. Y F, H son primos entre sí [Prop. VIII.3]. Por tanto, como F es a H, así A a C.
Por consiguiente, A tampoco mide a C. De manera semejante demostraríamos que ningún otro mide tampoco a ningún otro.
Q. E. D.