Si dos números son primos entre sí, y caen entre ellos números en proporción continua, entonces, cuantos números caen en proporción continua entre ellos, tantos caerán también en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad.

Sean A, B dos números primos entre sí Paso 1 y caigan entre ellos C, D en proporción continua Paso 2, y quede aparte la unidad E Paso 3. Digo que, cuantos números hayan caído entre A, B en proporción continua, tantos caerán también en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad.

Pues tómense dos números, F, G Paso 4, los menores que están en la razón de A, C, D, B, y tres números H, K, L Paso 5, y así sucesivamente aumentando la serie de uno en uno, hasta que resulte igual su cantidad a la cantidad de los números A, C, D, B [Prop. VIII.2]. Tómense y sean M, N, O, P Paso 6. Pues bien, está claro que F, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número H, y, al multiplicar a H, ha hecho el número M, mientras que G, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número L y, al multiplicar a L, ha hecho el número O [Cor. Prop. VIII.2].

Ahora bien, puesto que M, N, O, P son los menores de los que guardan la misma razón que F, G, y A, C, D, B son también los menores de los que guardan la misma razón que F, G [Prop. VIII.1], mientras que la cantidad de los números M, N, O, P es igual a la cantidad de los números A, C, D, B, entonces los números M, N, O, P son iguales a los números A, C, D, B respectivamente; por tanto, M es igual a A y P a B. Y como F, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número H, entonces F mide a H según las unidades de F. Pero la unidad E mide también a F según sus unidades; luego, la unidad E mide al número F el mismo número de veces que F a H. Por tanto, como la unidad E es al número F, así F a H [Def. VII.21]. Puesto que, a su vez, F, al multiplicar a H, ha hecho el número M, entonces, H mide a M según las unidades de F. Pero la unidad E mide también al número F según sus unidades; luego la unidad E mide al número F el mismo número de veces que H a M. Por tanto, como la unidad E es al número F, así H a M. Luego la unidad E es al número F como H a M. Pero se ha demostrado también que como la unidad E es al número F, así F a H, Entonces como la unidad E es al número F, así es F a H y H a M. Pero M es igual a A; por tanto, como la unidad E es al número F, así es F a H y H a A. Por lo mismo también, como la unidad E es al número G, así G a L y L a B.

Por consiguiente, cuantos números han caído en proporción continua entre A, B, tantos números han caído también en proporción continua entre cada uno de los números A, B y la unidad E.

Q. E. D.