Si entre dos números caen dos números medios proporcionales, los números son sólidos semejantes.
Pues caigan dos números medios proporcionales C, D entre los números A, B .
Digo que A, B son números sólidos semejantes.
Pues tómense tres números E, F, G los menores de los que guardan la misma razón que A, C, D [Prop. VII.33 y Prop. VIII.2]; entonces sus extremos E, G son primos entre sí [Prop. VIII.3].
Y puesto que entre E, G ha caído un número medio proporcional, F, entonces E, G son números planos semejantes [Prop. VIII.20]. Pues bien, sean H, K los lados de E ,
y L, M los de G . Luego queda claro a partir de la proposición anterior que E, F, G son continuamente proporcionales en la razón de H a L y en la de K a M.
Y como E, F, G son los números menores de los que guardan la misma razón que A, C, D y la cantidad de los números E, F, G es igual a la cantidad de los
números A, C, D, entonces, por igualdad, como E es a G, así A a D [Prop. VII.14]. Pero E, G son primos y los primos son también los menores [Prop. VII.21],
pero los menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor, es decir el antecedente
al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]; entonces E mide a A el mismo número de veces que G a D. Ahora bien, cuantas veces E mide a A,
tantas unidades haya en N . Entonces N, al multiplicar a E, ha hecho el número A. Pero E es el producto de H, K; luego N, al multiplicar al producto de H, K,
ha hecho el número A. Por tanto, A es un número sólido y H, K, N son sus lados. Puesto que a su vez E, F, G son los números menores de los que guardan la
misma razón que C, D, B, entonces E mide a C el mismo número de veces que G a B. Ahora bien, cuantas veces E mide a C, tantas unidades haya en O .
Entonces G mide a B según las unidades de O; luego O, al multiplicar a G, ha hecho el número B. Pero G es el producto de L, M; entonces O, al multiplicar
al producto de L, M, ha hecho el número B. Luego B es un número sólido y L, M, O sus lados; por tanto, A y B son números sólidos.
Digo que también son semejantes.
Pues como N, O, al multiplicar a E, han hecho los números A, C respectivamente, entonces, como N es a O, A es a C,
es decir, E a F [Prop. VII.18]. Pero como E es a F, H es a L y K a M; luego, como H es a L, así K a M y N a L. Pero H, K, N son los lados de A,
mientras que O, L, M son los lados de B.
Por consiguiente, A, B son números sólidos semejantes.
Q. E. D.